Funktionsuntersuchungen mit der Bestimmung gewisser Eigenschaften des Graphen einer Funktion gehören zu den Standardaufgaben des Analysisunterrichts der Oberstufe. Dies lässt sich um Extremalwertaufgaben erweitern, indem zwischen zwei Graphen Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze eingefügt werden, deren Flächeninhalt maximal wird. Ebenso können Graphen den Umriss eines Rotationskörpers bilden, in dem ein Körper wie z. B. ein Kegel mit maximalem Volumen einbeschrieben wird.

Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse mit einem GTR/CAS nur approximiert ausgegeben werden kann, werden zur Näherung das Sehnentrapezverfahren und das Simpson-Verfahren vorgestellt.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

Mithilfe der Eigenschaften zweier Graphen einer Wurzelfunktionenschar werden die zugehörigen Parameter bestimmt. Ebenso soll gezeigt werden, dass die Funktionenschar die vorgegebene Ableitung besitzt, und die Ortslinie der Extrempunkte soll bestimmt werden. Bei der Funktion f1 der Schar wird der Definitionsbereich eingeschränkt und der Graph der Funktion gespiegelt. Zwischen dem Graphen der Funktion f1 , dem an der y-Achse gespiegelten Graphen sowie einer Parallelen zur y-Achse kann ein Dreieck, ein Rechteck oder ein Trapez eingefügt werden, dessen Flächeninhalt maximal sein soll. Zu bestimmen ist jeweils die zur Parallelen gehörige Gleichung. Rotiert der Graph einer Funktion der Wurzelfunktionenschar, so entsteht ein Rotationskörper, an dem Volumenberechnungen durchgeführt werden sollen. Spiegelt man den Graphen einer Funktion f1 der Schar an unterschiedlichen Geraden, so erhält man eine Abbildung, die einem „Kleeblatt“ ähnelt. Da die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse mit dem GTR/CAS nur näherungsweise ausgegeben wird, lernen die Schülerinnen und Schüler zwei Näherungsverfahren – das Sehnentrapezverfahren und das Simpson-Verfahren – kennen und bestimmen den Flächeninhalt mithilfe dieser beiden Verfahren.

Kompetenzprofil:

• Inhalt: Wurzelfunktionenschar, Nullstellen, Asymptote, Definitionsbereich, Tangente, Extrempunkte, Ortslinie, Randextrema, Bestimmen von Parametern bei Extremwertproblemen (Dreieck, Rechteck, Trapez, Kegel), numerische Integration (Sehnentrapezverfahren, Simpson-Verfahren) Geradenspiegelung von Graphen, Volumen Rotationskörper, Flächenberechnung
  Medien: GTR/CAS, GeoGebra, Tabellenkalkulation
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, Kommunizieren